Question

13．设点P为公共焦点F₁（-2，0），F₂（2，0）的椭圆和双曲线的一个交点，且cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$，已知椭圆的长轴长是双曲线实轴长的4倍，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 设椭圆半长轴与双曲线的半实轴分别为a₁，a₂，半焦距为c．设|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨设m＞n，由椭圆与双曲线的定义可得：m+n=2a₁，m-n=2a₂．又4c²=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$，即可得出双曲线的离心率．

解答 解：设椭圆与双曲线的半长轴分别为a₁，a₂，半焦距为c，e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨设m＞n，
则m+n=2a₁，m-n=2a₂．
∴m²+n²=2a₁²+2a₂²，mn=a₁²-a₂²，
由余弦定理可得4c²=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，
∴4c²=2a₁²+2a₂²-2（a₁²-a₂²）×$\frac{3}{5}$．
化为：5c²=a₁²+4a₂²，
由题意可得a₁=4a₂，
即有5c²=16a₂²+4a₂²，
即为c²=4a₂²，
可得双曲线的离心率为e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$=2．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义、标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．