Question

19．非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足：（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow b$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 根据向量垂直的充要条件即可由条件得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0，（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}=0$，然后进行向量数量积的运算即可得出$\left\{\begin{array}{l}{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0}\\{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=0}\end{array}\right.$，消去$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$即可得到$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}=\sqrt{2}$，而容易得出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{|\overrightarrow{b}|}{2|\overrightarrow{a}|}$，这样便可得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：根据条件，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=$2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{|\overrightarrow{b}|}{2|\overrightarrow{a}|}$，且$\left\{\begin{array}{l}{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0}\\{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=0}\end{array}\right.$；
消去$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$得，$2{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}=0$；
∴$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}|\overrightarrow{a}|$；
∴$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}=\sqrt{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{3π}{4}$．
故选D．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及消元法的运用，向量夹角的范围，已知三角函数值求角的方法．