Question

已知x²+y²-4y-a=0表示一个圆．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，求过原点且倾斜角为60°的直线l被圆所截得的弦长．

Answer 1

考点：二元二次方程表示圆的条件,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）通过平方，化为圆的标准方程，然后求a的取值范围；
（Ⅱ）a=0，得到圆的方程，求出圆心与比较，求出直线方程，然后求解圆心到直线的距离，求出半弦长，即可直线l被圆所截得的弦长．

解答： 解：（Ⅰ）x²+y²-4y-a=0，配方可得：x²+（y-2）²=a+4，
x²+y²-4y-a=0表示一个圆，
a+4＞0，解得a＞-4．
a的取值范围（-4，+∞）；
（Ⅱ）若a=0，x²+（y-2）²=4．过原点且倾斜角为60°的直线l的方程：y=

3

x，
圆的圆心（0，2），到直线的距离为：d=

2

1+( 3 )2

=

2

2

=1，
∴圆的半弦长为：

22-12

=

3

，
直线被圆所截得的弦长2

3

．

点评：本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．