Question

15．已知函数是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[-1，1]，x+y≠0，则有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明
（2）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-2x）
（3）若f（x）≤m²-2m-2，对任意的x∈[-1，1]恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）任取a，b∈[-1，1]，且a＜b，则b-a＞0，结合（x+y）[f（x）+f（y）]＞0，判断出f（b）＞-f（-a），结合函数单调性的定义，可得结论；
（2）若f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-2x），则-1≤x+$\frac{1}{2}$＜1-2x≤1，解得原不等式的解集；
（3）f（x）_max=f（1）=1，故m²-2m-2≥1，解得实数m的范围．

解答 解：（1）f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，理由如下：
任取a，b∈[-1，1]，且a＜b，则b-a＞0，
∵（x+y）[f（x）+f（y）]＞0，
∴（b-a）[f（b）+f（-a）]＞0，
即f（b）+f（-a）＞0，
即f（b）＞-f（-a），
∵函数是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（b）＞f（a），
∴f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，
（2）∵f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-2x），
-1≤x+$\frac{1}{2}$＜1-2x≤1
解得：x∈[0，$\frac{1}{6}$）
（3）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，
所以f（x）_max=f（1）=1，
即：对任意的x在[-1，1]上有m²-2m-2≥1成立，
解得：m≥3或m≤-1

点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的奇偶性与函数的单调性，函数恒成立问题，难度中档．