Question

7．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都有2，D为CC₁中点．
（1）求证：面AB₁C⊥面A₁BD；
（2）求二面角B-A₁D-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点O，连结AO，推导出AO⊥平面BCC₁B，连结B₁O，推导出AB₁⊥平面A₁BD，由此能证明面AB₁C⊥面A₁BD．
（2）设AB₁与A₁B交于点G，作GF⊥A₁D于F，连结AF，则∠AFG为二面角B-A₁D-C的平面角，由此能求出二面角B-A₁D-C的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）取BC中点O，连结AO，
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B，
连结B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分别为BC，CC₁的中点，
∴B₁O⊥BD，∴AB₁⊥BD．
在正方形BB₁C₁C中，AB₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BD，
∵AB₁?面AB₁C，∴面AB₁C⊥面A₁BD．
解：（2）设AB₁与A₁B交于点G，
在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，
连结AF．由（1）得AB₁⊥平面A₁BD．
∴AF⊥A₁D，∴∠AFG为二面角B-A₁D-C的平面角．
在△AA₁D中，由等面积法得$AF=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
又∵$AG=\frac{1}{2}A{B_1}=\sqrt{2}$，∴$sin∠AFG=\frac{AG}{AF}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\frac{{4\sqrt{5}}}{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{4}，cos∠AFG=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
∴二面角B-A₁D-C的平面角的余弦值$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．