Question

某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3-x=

k

t+1

（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．

解答： （本题满分（14分），（8分）+6分）．
解：（1）由题意：3-x=

k

t+1

，
且当t=0时，x=1．
所以k=2，所以3-x=

2

t+1

，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价

3

2

(

32x+3

x

)+

t

2x

，…（2分）
所以，y=[

3

2

(

32x+3

x

)+

t

2x

]x-(32x+3)-t…（3分）
=16x-

t

2

+

3

2

=-

32

t+1

-

t+1

2

+50，（t≥50）；…（2分）
（2）因为

32

t+1

+

t+1

2

≥8  当且仅当

32

t+1

=

t+1

2

，即t=7时取等号，…（4分）
所以y≤50-8=42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．