Question

已知圆心为（1，2）的圆C，被直线l：2x-y-5=0截得的弦长为4

5

．
（Ⅰ）求圆C的方程．
（Ⅱ）设P是直线l上横坐标为-4的一点，求经过点P的圆的切线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）根据弦长公式求出圆的半径即可求圆C的方程．
（Ⅱ）求出P的坐标，结合直线和圆相切的等价条件即可求出切线方程．

解答： 解：（Ⅰ）圆心到直线的距离d=

|2-2-5|

22+1

=

5

5

=

5

，
则圆的半径R=

( 5 )2+( 4 5 2 )2

=

5+20

=

25

=5，
则圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=25．
（Ⅱ）∵P是直线l上横坐标为-4的一点，
∴2×（-4）-y-5=0，
解得y=-13，即P（-4，-13），
当过P的圆的切线斜率k存在，设方程为y+13=k（x+4），
即kx-y+4k-13=0，
而C（1，2）到kx-y+4k-13=0的距离d=

|k-2+4k-13|

k2+12

=5，∴k=

4

3

，
所以所求切线方程为y+13=

4

3

(x+4)，即4x-3y-23=0，
当切线斜率不存在时，x=-4也与圆C相切．
综上可得，所求的切线方程是4x-3y-23=0和x=-4．

点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆相切的位置关系，利用圆心到直线的距离和半径之间是关系是解决本题的关键．