Question

已知函数f（x）=

a

2

lnx+（a+1）x²+1
（Ⅰ）当a=-

1

2

时，求f（x）在区间[

1

e

，e]的最小值
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=-

1

2

带入f（x）=-

1

4

lnx+

1

2

x2+1，通过求导，根据其符号即可判断f（x）取得极小值的情况，从而得出最小值；
（Ⅱ）求f′（x）=

a+4(a+1)x2

2x

，讨论a的取值：分a≤-1，-1＜a＜0，和a≥0三种情况，根据其符号即可判断其单调性．

解答： 解：（Ⅰ）a=-

1

2

时，f（x）=-

1

4

lnx+

1

2

x2+1；
f′(x)=-

1

4x

+x=

4x2-1

4x

；
∴x∈[

1

e

，

1

2

）时，f′（x）＜0，x∈（

1

2

，e]时，f′（x）＞0；
∴x=

1

2

时，f（x）在[

1

e

，e]上取到最小值

1

4

ln2+

9

8

；
（Ⅱ）f′（x）=

a

2x

+2(a+1)x=

a+4(a+1)x2

2x

；
∴①若a≤-1，则f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，+∞）是减函数；
②若-1＜a＜0，则：
x∈（0，

1

2

-a a+1

）时，f′（x）＜0；x∈（

1

2

-a a+1

，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，

1

2

-a a+1

]上是减函数，在（

1

2

-a a+1

，+∞）上是增函数；
③若a≥0，则f′（x）＞0；
∴此时f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：考查根据导数符号判断函数取得极值的情况，以及根据导数求函数最小值的方法与过程，根据导数符号判断函数单调性的方法．