Question

10．已知集合A是集合P_n={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N^*）的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f（n）．
（1）求f（3），f（4）；
（2）求f（n）（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根据题意，直接可得结论；
（2）设A₀={m|m=3p，p∈N^*，p≤$\frac{n}{3}$}，A₁={m|m=3p-1，p∈N^*，p≤$\frac{n+1}{3}$}，A₂={m|m=3p-2，p∈N^*，p≤$\frac{n+2}{3}$}，它们所含元素的个数分别记为|A₀|，|A₁|，|A₂|，分①n=3k，②n=3k-1，③n=3k-2三种情况讨论即可．

解答 解：（1）根据题意，易得P₃={1，2，3}，∴f（3）=1，
P₄={1，2，3，4}，满足条件的子集有：{1，2，3}、{2，3，4}，∴f（4）=2；
（2）设A₀={m|m=3p，p∈N^*，p≤$\frac{n}{3}$}，
A₁={m|m=3p-1，p∈N^*，p≤$\frac{n+1}{3}$}，
A₂={m|m=3p-2，p∈N^*，p≤$\frac{n+2}{3}$}，
它们所含元素的个数分别记为|A₀|，|A₁|，|A₂|．
①当n=3k时，则|A₀|=|A₁|=|A₂|=k．
k=1，2时，f（n）=（${C}_{k}^{1}$）³=k³；
k≥3时，f（n）=3${C}_{k}^{3}$+（${C}_{k}^{1}$）³=$\frac{3}{2}$k³-$\frac{3}{2}$k²+k，
从而f（n）=$\frac{1}{18}$n³-$\frac{1}{6}$n²+$\frac{1}{3}$n，n=3k，k∈N^*．
②当n=3k-1时，则|A₀|=k-1，|A₁|=|A₂|=k．
k=2时，f（n）=f（5）=2×2×1=4；
k=3时，f（n）=f（8）=1+1+3×3×2=20；
k＞3时，f（n）=${C}_{k-1}^{3}$+2${C}_{k}^{3}$+${C}_{k-1}^{1}$$（{C}_{k}^{1}）^{2}$=$\frac{3}{2}$k³-3k²+$\frac{5}{2}$k-1；
从而f（n）=$\frac{1}{18}$n³-$\frac{1}{6}$n²+$\frac{1}{3}$n-$\frac{4}{9}$，n=3k-1，k∈N^*．
③当n=3k-2时，|A₀|=k-1，|A₁|=k-1，|A₂|=k．
k=2时，f（n）=f（4）=2×1×1=2；
k=3时，f（n）=f（7）=1+3×2×2=13；
k＞3时，f（n）=2${C}_{k-1}^{3}$+${C}_{k}^{3}$+$（{C}_{k-1}^{1}）^{2}$${C}_{k}^{1}$=$\frac{3}{2}$k³-$\frac{9}{2}$k²+5k-2；
从而$\frac{1}{18}$n³-$\frac{1}{6}$n²+$\frac{1}{3}$n-$\frac{2}{9}$，n=3k-2，k∈N^*．
所以f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{18}{n}^{3}-\frac{1}{6}{n}^{2}+\frac{1}{3}n，}&{n=3k，k∈{N}^{*}}\\{\frac{1}{18}{n}^{3}-\frac{1}{6}{n}^{2}+\frac{1}{3}n-\frac{4}{9}，}&{n=3k-1，k∈{N}^{*}}\\{\frac{1}{18}{n}^{3}-\frac{1}{6}{n}^{2}+\frac{1}{3}n-\frac{2}{9}，}&{n=3k-2，k∈{N}^{*}}\end{array}\right.$．

点评 本题是一道数列与集合的综合题，涉及到排列等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．