Question

20．已知f（x）=alnx+x²+bx，且x=1是f（x）极值点，若y=f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，可得b=-2-a，对a讨论，①当a=0时，②当a＜0时，③当a＞0且a≠2时，讨论单调性和极值或最值，结合函数的图象，解方程或不等式，即可得到a的范围．

解答 解：f（x）=alnx+x²+bx的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x+b，
由x=1是f（x）极值点，则f′（1）=0，
即有a+b=-2，
即有f′（x）=$\frac{a+2{x}^{2}-（2+a）x}{x}$=$\frac{（x-1）（2x-a）}{x}$，
显然a≠2，
①当a=0时，f（x）=x²-2x，x＞0，函数f（x）有且只有一个零点2，成立；
②当a＜0时，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=1处取得最小值，且为1+b=-1-a，
当-1-a=0即a=-1时，f（x）有且只有一个零点；
③当a＞0且a≠2时，函数有两个极值点1，$\frac{a}{2}$，
当f（1）＜0且f（$\frac{a}{2}$）＜0，函数f（x）有且只有一个零点，
即有1+b＜0，且aln$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{4}$a²+$\frac{ab}{2}$＜0，
即为-1-a＜0，且ln$\frac{a}{2}$-1-$\frac{1}{4}$a＜0，
令g（a）=ln$\frac{a}{2}$-1-$\frac{1}{4}$a，g′（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$，
可得a=4处附近，导数左正右负，f（x）取得极大值，也为最大值，且为ln2-2＜0，
则有a＞0且a≠2，f（x）恒有一个零点．
综上可得a的取值范围是a≥0且a≠2或a=-1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的零点的求法，注意运用函数的最小值为0和小于0，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．