Question

15．设f（x）=x³+bx²+cx+d，又k是一个常数，已知k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，给出下列命题：
①f（x）-4=0和f'（x）=0有一个相同的实根；
②f（x）=0和f'（x）=0有一个相同的实根；
③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）-1=0的任一实根；
④f（x）+5=0的任一实根小于于f（x）-2=0的任一实根；
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 由已知中f（x）=x³+bx²+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；
当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，
故函数即有极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0
故f（x）-4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；
f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；
f（x）+3=0有一实根且小于函数最小的零点，f（x）-1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；
f（x）+5=0有一实根且小于函数最小的零点，f（x）-2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；
故选：A．

点评 本题考查了函数与方程的思想，把零点问题转化为函数交点问题，属于中档题．