Question

4．已知函数f（x）=x²+（4a-3）x+3a
（1）当a=1，x∈[-1，1]时，求函数f（x）的值域；
（2）已知a＞0且a≠1，若函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x＜0\\{log_a}（x+1）+1，x≥0\end{array}$为R上的减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过a=1化简二次函数，求出对称轴判断开口方向，然后求解值域；
（2）利用分段函数的单调性，结合二次函数的对称轴，以及函数值的关系，求解即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²+x+3．x∈[-1，1]对称轴$x=-\frac{1}{2}$，…（1分）
故${f_{min}}（x）=f（-\frac{1}{2}）=\frac{11}{4}$，f_max（x）=f（1）=5…（3分）
函数f（x）的值域为$[\frac{11}{4}，5]$…（4分）
（2）由已知可得f（x）在（-∞，0）时单调递减，
故对称轴$-\frac{4a-3}{2}≥0$即$a≤\frac{3}{4}$…（6分）
f（x）在[0，+∞）时单调递减，故即0＜a＜1…（7分）
又g（x）在R上递减，则f（0）≥g（0），即3a≥1，解得$a≥\frac{1}{3}$…（9分）
综上$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}$…（10分）

点评 本题考查分段函数的应用，二次函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．