Question

5．已知圆O：x²+y²=16和点M（1，2$\sqrt{2}$），过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，则四边形ABCD面积的最大值（　　）

• A． 4$\sqrt{30}$
• B． $\sqrt{23}$
• C． 23
• D． 25

Answer 1

分析 连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F，推导出四边形OEPF为矩形，由OA=OC=4，OM=3，求出AC²+BD²=92，由任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的$\frac{1}{2}$，求出当AC=BD时，四边形ABCD的面积取最大值．

解答 解：如图，连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEPF为矩形
已知OA=OC=4，OM=3，
设OE为x，则OF=EP=$\sqrt{O{M}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，
∴AC=2AE=2$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$=2$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
BD=2DF=2$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+7}$，
∴AC²+BD²=92，
由此可知AC与BD两线段的平方和为定值，
又∵任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的$\frac{1}{2}$，
当AC=BD=$\sqrt{46}$时
四边形ABCD的面积最大值$\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×\sqrt{46}×\sqrt{46}$=23．
故选：B．

点评 本题考查四边形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．