Question

3．已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+2．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜6；
（Ⅱ）若对任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）问题转化为{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，分别求出f（x），g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）＜6，即|2x-1|+|2x+3|＜6，
即$\left\{\begin{array}{l}x≤-\frac{3}{2}\\ 1-2x-2x-3＜6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}\\ 2x+3+1-2x＜6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥\frac{1}{2}\\ 2x-1+2x+3＜6.\end{array}\right.$，
∴$-2＜x≤-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}≤x＜1$，
∴-2＜x＜1，
所以不等式f（x）＜6的解集为{x|-2＜x＜1}．
（Ⅱ）对任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则有{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，
g（x）=|x-1|+2≥2，从而|a+3|≥2，
解得a≤-5或a≥-1，
故a∈（-∞，-5]∪[-1，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及函数的最值问题，是一道中档题．