Question

20．命题P：-2＜$\frac{1}{3}$（1-a）＜2，命题Q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅，命题P、Q中有且仅有一个为真命题，则实数a的范围（-5，-4]∪[7，+∞）．

Answer 1

分析 求解不等式化简命题P，由A∩B=∅，结合一元二次方程根的分布列式求解Q，再由命题P、Q中有且仅有一个为真命题，结合补集思想求得实数a的范围．

解答 解：由-2＜$\frac{1}{3}$（1-a）＜2，得：-5＜a＜7．
∴P：-5＜a＜7．
由A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅，说明方程x²+（a+2）x+1=0无正根，
即（a+2）²-4＜0或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a+2}{2}≤0}\\{f（0）=1≥0}\end{array}\right.$，解得：a＞-4．
∴Q：a＞-4．
命题P、Q中有且仅有一个为真命题，则“P真Q假”或“P假Q真”．
若P真Q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-5＜a＜7}\\{a≤-4}\end{array}\right.$，即-5＜a≤-4；
若P假Q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤-5或a≥7}\\{a＞-4}\end{array}\right.$，即a≥7．
综上，实数a的范围是（-5，-4]∪[7，+∞）．
故答案为：（-5，-4]∪[7，+∞）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的解法，训练了一元二次方程根的分布，解答此题的关键是补集思想的运用，是中档题．