Question

15．已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=$\sqrt{x}$．
（1）求f（x）的解析式．
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）设x＜0，则-x＞0，将-x代入函数的解析式即可；（2）通过求导判断函数的单调性即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）
当x≥0时，f（x）=$\sqrt{x}$，
设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=$\sqrt{-x}$=f（x），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）函数f（x）在（0，+∞）递增，
证明如下：
由f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$＞0，
得f（x）在（0，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题．