Question

5．函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），当x＞1时，总有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值．
（2）判断f（x）的单调性并证明．
（3）若f（4）=6，解不等式f（x-1）≤3．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）利用单调性的定义，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后，判断符号即可；
（3）依题意，由f（4）=6，求出f（2）=3，将不等式f（x-1）≤3进行转化，利用函数的单调性即可得到结论．．

解答 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）-f（1）=0，
则f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵x₂＞x₁＞0，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，故f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（4）=6，
∴f（$\frac{2}{\frac{1}{2}}$）=f（2）-f（$\frac{1}{2}$）=f（4）=6，①
f（$\frac{1}{\frac{1}{2}}$）=f（1）-f（$\frac{1}{2}$）=f（2），
即f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=0，②
解得f（2）=3，
则不等式f（x-1）≤3等价为f（x-1）≤f（2），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x-1≥2，
解得x≥3，
即不等式的解集为[3，+∞）．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的证明，考查不等式的解法，属于中档题．