Question

2．以椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的左焦点F₁为圆心，过此椭圆右顶点A的圆截直线3x+4y-21=0所得的弦长为$4\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 求出椭圆的左焦点，求出圆的半径，利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径与半弦长的关系，求解直线被圆截直线3x+4y-21=0所得的弦长．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，可得a=5，b=4，c=3，椭圆的左焦点F₁为（-3，0），
圆的半径为：a+c=8，
圆的圆心（-3，0）到直线3x+4y-21=0的距离d=$\frac{|-9-21|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=6，
圆的圆心到直线的距离与圆的半径与半弦长满足勾股定理，
可得弦长为：2$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=$4\sqrt{7}$．
故答案为：$4\sqrt{7}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．