Question

12．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，P是线段DE上的任意一点，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BF}$的取值范围为[0，6]．．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，由已知可求$\overrightarrow{AE}$=（0，2 $\sqrt{3}$），$\overrightarrow{ED}$=（2，0），$\overrightarrow{BF}$=（-3，$\sqrt{3}$），设λ=$\frac{\overrightarrow{EP}}{\overrightarrow{ED}}$∈[0，1]，可求$\overrightarrow{AP}$=（2λ，2$\sqrt{3}$），利用平面向量数量积的坐标运算可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BF}$=-6λ+6，结合λ的范围即可得解．

解答 解：建立如图坐标系，设AB=2，则A（0，0），B（2，0），C（3，$\sqrt{3}$），D（2，2 $\sqrt{3}$），E（0，2 $\sqrt{3}$），F（-1，$\sqrt{3}$），
则：$\overrightarrow{AE}$=（0，2 $\sqrt{3}$），$\overrightarrow{ED}$=（2，0），$\overrightarrow{BF}$=（-3，$\sqrt{3}$），
设λ=$\frac{\overrightarrow{EP}}{\overrightarrow{ED}}$∈[0，1]，
则：$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{AE}$+λ$\overrightarrow{ED}$=（0，2$\sqrt{3}$）+λ（2，0）=（2λ，2$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BF}$=（2λ，2$\sqrt{3}$）•（-3，$\sqrt{3}$）=-6λ+6∈[0，6]．
故答案为：[0，6]．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想的运用，建立直角坐标系求得各个向量的坐标是解题的关键，属于中档题．