题目内容
设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则下列说法正确的为：
①f（1）＞ef（0），f（2014）＜e2014f（0）
②f（1）＜ef（0），f（2014）＜e2014f（0）
③f（1）＞ef（0），f（2014）＞e2014f（0）
④3f（ln2）＞2f（ln3）
⑤3f（ln2）＜2f（ln3）
⑥3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定．
①f（1）＞ef（0），f（2014）＜e2014f（0）
②f（1）＜ef（0），f（2014）＜e2014f（0）
③f（1）＞ef（0），f（2014）＞e2014f（0）
④3f（ln2）＞2f（ln3）
⑤3f（ln2）＜2f（ln3）
⑥3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定．
考点：命题的真假判断与应用
专题：函数思想,导数的综合应用
分析：构造函数g（x）=
，则g′（x）＞0，得出g（x）是单调增函数；由此判定③正确，①②错误；⑤正确，④⑥错误．
| f(x) |
| ex |
解答：
解：令g（x）=
，则g′（x）=
=
；
∵对任意x∈R，有f′（x）＞f（x），
∴g′（x）＞0，
即g（x）在R上是单调增函数；
∵1＞0，2014＞0；
∴g（1）＞g（0），g（2014）＞g（0）；
即
＞
，
＞
；
∴f（1）＞ef（0），f（2014）＞e2014f（0）；
∴①②错误，③正确；
又∵ln2＜ln3，
∴g（ln2）＜g（ln3），
即
＜
；
∴
＜
，
即3f（ln2）＜2f（ln3）；
∴⑤正确，④⑥错误；
综上，正确的序号是③⑤．
故答案为：③⑤．
| f(x) |
| ex |
| f′(x)•ex-f(x)•ex |
| e2x |
| f′(x)-f(x) |
| ex |
∵对任意x∈R，有f′（x）＞f（x），
∴g′（x）＞0，
即g（x）在R上是单调增函数；
∵1＞0，2014＞0；
∴g（1）＞g（0），g（2014）＞g（0）；
即
| f(1) |
| e |
| f(0) |
| e0 |
| f(2014) |
| e2014 |
| f(0) |
| e0 |
∴f（1）＞ef（0），f（2014）＞e2014f（0）；
∴①②错误，③正确；
又∵ln2＜ln3，
∴g（ln2）＜g（ln3），
即
| f(ln2) |
| eln2 |
| f(ln3) |
| eln3 |
∴
| f(ln2) |
| 2 |
| f(ln3) |
| 3 |
即3f（ln2）＜2f（ln3）；
∴⑤正确，④⑥错误；
综上，正确的序号是③⑤．
故答案为：③⑤．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，解题时应根据题意，构造函数，利用导数判定函数的单调性，利用函数的单调性判定选项是否正确，是综合题．
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