Question

7．已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N⁺，b_n是a_n和a_n+1的等比中项．
（1）设c_n=b_n+1²-b_n²，n∈N⁺，求证：数列{c_n}是等差数列；
（2）设a₁=d，T_n=$\sum_{k=1}^{2n}$（-1）^kb_k²，n∈N^*，求证：$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{T}_{k}}$＜$\frac{1}{2{d}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{c_n}的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可．
（2）求出T_n=$\sum_{k=1}^{2n}$（-1）^kb_k²的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可．

解答 证明：（1）∵{a_n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N⁺，b_n是a_n和a_n+1的等比中项．
∴c_n=b${\;}_{n+1}^{2}$-b${\;}_{n}^{2}$=a_n+1a_n+2-a_na_n+1=2da_n+1，
∴c_n+1-c_n=2d（a_n+2-a_n+1）=2d²为定值；
∴数列{c_n}是等差数列；
（2）T_n=$\sum_{k=1}^{2n}$（-1）^kb_k²=（-b₁²+b₂²）+（-b₃²+b₄²）+…+（-b_2n-1²+b_2n²）=2d（a₂+a₄+…+a_2n）=2d$•\frac{n（{a}_{2}+{a}_{2n}）}{2}$
=2d²n（n+1），
∴$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{T}_{k}}$=$\frac{1}{2{d}^{2}}$$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{1}{2{d}^{2}}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2{d}^{2}}$（1-$\frac{1}{n+1}$）$＜\frac{1}{2{d}^{2}}$．
即不等式$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{T}_{k}}$$＜\frac{1}{2{d}^{2}}$成立．

点评 本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合，根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．