题目内容
椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）若△ABF2为正三角形，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆的离心率满足0＜e＜
，O为坐标原点，求证OA2+OB2＜AB2．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）若△ABF2为正三角形，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆的离心率满足0＜e＜
| ||
| 2 |
考点：椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）由椭圆的标准方程为
+
=1（a＞b＞0），焦距为2c=2，由△ABF2是正三角形，得a=2
，根据a，b，c之间的关系，可得椭圆的标准方程；
（II）设出A，B的坐标，结合0＜e＜
，c=1，可得a＞
，分当直线l斜率不存在时，和当直线l斜率存在时，两种情况分别讨论
•
的符号，进而分析∠AOB的大小，可判断OA2+OB2＜AB2是否成立．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（II）设出A，B的坐标，结合0＜e＜
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| OA |
| OB |
解答：
解：（Ⅰ）∵椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），
∴2c=2，c=1，
若△ABF2为正三角形，则2a=2
，
即a=
，
故a2=3，b2=2，
故椭圆的标准方程为：
+
=1
（II）A（x1，y1），B（x2，y2），
∵0＜e＜
，c=1，
∴a＞
，
①当直线l斜率不存在时，
+
=1，y2=
，
•
=x1x2+y1y2=1-
=
=
，
∵a2＞
，
∴
•
＜0，
∴∠AOB为钝角，
∴OA2+OB2＜AB2．
②当直线l斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入
+
=1整理得：
（b2+a2k2）x2+2a2k2x+a2k2-a2b2=0，
则x1x2=
，x1+x2=
，
•
=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+1）（x2+1）=x1x2（1+k2）+k2（x1+x2）+k2
=
=
=
，
由①知，-a4+3a2-1＜0，
故
•
=
＜0，
∴∠AOB为钝角，
∴OA2+OB2＜AB2．
综上所述：OA2+OB2＜AB2恒成立
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴2c=2，c=1，
若△ABF2为正三角形，则2a=2
| 3 |
即a=
| 3 |
故a2=3，b2=2，
故椭圆的标准方程为：
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（II）A（x1，y1），B（x2，y2），
∵0＜e＜
| ||
| 2 |
∴a＞
| ||
| 2 |
①当直线l斜率不存在时，
| 1 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b4 |
| a2 |
| OA |
| OB |
| b4 |
| a2 |
| -a4+3a2-1 |
| a2 |
-(a2-
| ||||
| a2 |
∵a2＞
| ||
| 2 |
∴
| OA |
| OB |
∴∠AOB为钝角，
∴OA2+OB2＜AB2．
②当直线l斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（b2+a2k2）x2+2a2k2x+a2k2-a2b2=0，
则x1x2=
| a2k2-a2b2 |
| b2+a2k2 |
| -2a2k2 |
| b2+a2k2 |
| OA |
| OB |
=
| (a2k2-a2b2)(1+k2)-2a2k4+k2(b2+a2k2) |
| b2+a2k2 |
=
| k2(a2+b2-a2b2)-a2b2 |
| b2+a2k2 |
=
| k2(-a4+3a2-1)-a2b2 |
| b2+a2k2 |
由①知，-a4+3a2-1＜0，
故
| OA |
| OB |
| k2(-a4+3a2-1)-a2b2 |
| b2+a2k2 |
∴∠AOB为钝角，
∴OA2+OB2＜AB2．
综上所述：OA2+OB2＜AB2恒成立
点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．
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