Question

1．已知等差数列{a_n}，a₁+a₅=10，a₄=7，等比数列{b_n}中，b₃=4，b₆=32．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n是a_n、b_n的等比中项，求数列{c${\;}_{n}^{2}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）由c_n是a_n、b_n的等比中项，可得${c}_{n}^{2}$=a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁+a₅=10，a₄=7，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+4d=10}\\{{a}_{1}+3d=7}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
设等比数列{b_n}的公比为q，∵b₃=4，b₆=32．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}{q}^{2}=4}\\{{b}_{1}{q}^{5}=32}\end{array}\right.$，解得b₁=1，q=2．
∴b_n=2^n-1．
（2）∵c_n是a_n、b_n的等比中项，
∴${c}_{n}^{2}$=a_nb_n=（2n-1）•2^n-1．
∴数列{c${\;}_{n}^{2}$}的前n项和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
∴-T_n=1+2×2+2×2²+…+2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-1-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ+3．

点评 本题考查了递推关系的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．