Question

13．已知f（x）为二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x-1）=4x．
（1）求f（2）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）判断f（x）的奇偶性并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据f（x+1）-f（x-1）-4x令x=1，可得f（2）；
（2）根据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得答案．
（3）根据二次函数的图象和性质及函数奇偶性的定义，可得答案．

解答 解：（1）∵f（0）=1，f（x+1）-f（x-1）=4x．
当x=1时，f（2）-f（0）=f（2）-1=4．
∴f（2）=5；
（2）设f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=c=1，f（x+1）-f（x）=4x，
∴[a（x+1）²+b（x+1）+c]-[a（x-1）²+b（x-1）+c]=4ax+2b=4x，
∴4a=4，2b=0，解得a=1，b=0，
则函数f（x）的表达式为f（x）=x²+1；
（3）∵f（-x）=（-x）²+1=x²+1=f（x），
故f（x）为偶函数．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．