Question

14．点P（-1，0）在动直线2ax+（a+c） y+2c=0（a∈R，c∈R）上射影为M，则点M到直线 x-y=5的距离的最大值是3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 变形直线方程由直线系可得定点A，可得动点M的轨迹为以AP为直径的圆上，数形结合可得．

解答 解：由2ax+（a+c）y+2c=0，得a（2x+y）+c（y+2）=0，
联立2x+y=0和y+2=0可得x=1且y=-2，
∴动直线恒过定A点（1，-2），
∴动点M的轨迹为以AP为直径的圆B：x²+（y+1）²=2，
∴点M到直线 x-y=5的距离的最大值为圆心（0，-1）
到直线x-y=5的距离加上圆B的半径$\sqrt{2}$，
计算可得$\frac{|0-（-1）-5|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$+$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$
故答案为：3$\sqrt{2}$

点评 本题考查过直线交点的直线系方程，涉及点到直线的距离公式和圆的方程，属中档题．