Question

已知曲线f（x）=

1

3

x³-x²-

16

x-1

（x＞1），则在该曲线上点（x₀，f（x₀））处切线斜率的最小值为（　　）

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：先求出曲线对应函数的导数，由基本不等式求出导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值．

解答：解：f（x）=

1

3

x³-x²-

16

x-1

（x＞1）的导数f′（x）=x²-2x+

16

(x-1)2

，
∴在该曲线上点（x₀，f（x₀））处切线斜率 k=x₀²-2x₀+

16

(x0-1)2

，
即k=（x₀-1）²+

16

(x0-1)2

-1，
由函数的定义域知 x₀＞1，即x₀-1＞0，
∴k≥2

(x0-1)2• 16 (x0-1)2

-1=7，当且仅当（x₀-1）²=

16

(x0-1)2

，即x₀=3 时，等号成立．
∴k的最小值为7．
故选A．

点评：本题考查曲线的切线斜率与对应的函数的导数的关系，以及基本不等式的应用，体现了转化的数学思想．