Question

19．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0．b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，虚轴端点与焦点的距离为$\sqrt{5}$．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的离心率以及虚轴端点与焦点的距离为$\sqrt{5}$，列出方程求出a，b即可求解双曲线的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），联立方程组，利用韦达定理，求出中点坐标，代入圆的方程，即可求出m的值．

解答 解：（1）由题意，得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，c²+b²=5，c²=a²+b²，解得a=1，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴所求双曲线C的方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{x+y+m=0}\end{array}\right.$得x²-2mx-m²-2=0（判别式△=8m²+8＞0），
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=m，y₀=x₀+m-2m，
∵点M（x₀，y₀），在圆x²+y²=5上，∴m²+（2m）²=5，
∴m=±1．

点评 本题考查双曲线的简单性质，标准方程的求法，直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力．