Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为.分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于的一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点在直线上，且，求的面积；

（3）过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点，且点在线段上（不包括端点），直线与直线交于点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据离心率，先将椭圆方程化为，再将点代入，求出，即可得出椭圆方程；

（2）先由题意，设，，根据，得到，代入椭圆方程，再根据，即可求出结果；

（3）设，得到直线的方程，得出，再由直线与椭圆方程联立，根韦达定理，以及题中条件，得出，最后根据向量数量积的坐标运算，即可得出结果.

（1）由题意，，代入点，解得，

所以即为所求椭圆的方程；

（2）由题意，设，，

由，得，代入椭圆方程，解得，

因此；

（3）设，则直线，则，

联立与椭圆方程，得，

由韦达定理，得，所以，

所以；，

联立直线和直线，得

所以，

又是椭圆上异于的一点，所以，即

所以可得.