题目内容
【题目】设函数的图象上存在两点
,使得
是以
为直角顶点的直角三角形(其中
为坐标原点),且斜边的中点恰好在
轴上,则实数
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
曲线上存在两点
、
满足题设要求,则点
、
只能在
轴两侧.设
,
,则
,运用向量垂直的条件:数量积为0,构造函数
,运用导数判断单调性,求得最值,即可得到
的范围.
解:假设曲线上存在两点
、
满足题设要求,
则点、
只能在
轴两侧.
不妨设,
,
则,
是以
为直角顶点的直角三角形,
,
即
若方程有解,存在满足题设要求的两点
、
;
若方程无解,不存在满足题设要求的两点
、
.
若,则
代入
式得:
即,而此方程无解,因此
,此时
,
代入式得:
,
即
令,
则,
在
,
上单调递增,
,
的取值范围是
.
对于
,方程
总有解,即方程
总有解.
故答案为:.
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