题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的离心率为
,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于
两点(
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴
轴分别交于
两点.
①设直线斜率分别为
,证明存在常数
使得
,并求出
的值;
②求面积的最大值.
【答案】(1).
(2) ①证明见解析,;②
.
【解析】试题分析:(1)首先由题意得到,即
.
将代入
可得
,
由,可得
.
得解.
(2)(ⅰ)注意从确定的表达式入手,探求使
成立的
.
设,则
,
得到,
根据直线BD的方程为,
令,得
,即
.得到
.
由,作出结论.
(ⅱ)直线BD的方程,
从确定的面积表达式
入手,应用基本不等式得解.
试题解析:(1)由题意知,可得
.
椭圆C的方程可化简为.
将代入可得
,
因此,可得
.
因此,
所以椭圆C的方程为.
(2)(ⅰ)设,则
,
因为直线AB的斜率,
又,所以直线AD的斜率
,
设直线AD的方程为,
由题意知,
由,可得
.
所以,
因此,
由题意知,
所以,
所以直线BD的方程为,
令,得
,即
.
可得.
所以,即
.
因此存在常数使得结论成立.
(ⅱ)直线BD的方程,
令,得
,即
,
由(ⅰ)知,
可得的面积
,
因为,当且仅当
时等号成立,
此时S取得最大值,
所以的面积的最大值为
.
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