Question

（1）圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一点P（x，y），求由点P向圆引切线的长度；
（2）在直线2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆x²+y²-4x=0引得的切线长度为最小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把x²+y²+Dx+Ey+F=0，通过配方化为标准方程则，明确圆心和半径．再利用圆外有一点P（x，y），由点P向圆引切线，切线长、半径和PO组成直角三角形；再根据勾股定理求出切线长．
（2）已知圆x²+y²-4x=0求出圆心和半径为．再根据图形和几何性质，要在直线2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆x²+y²-4x=0引得的切线长度为最小．半径已定，只需要满足直线上一点到圆心的距离最小即可．显然直线上一点P即为，过圆心与直线2x+y+3=0垂直的交点．
解答：解：（1）已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0，则，圆心为O为，半径为；
圆外有一点P（x，y），由点P向圆引切线，切线长、半径和PO组成直角三角形；
根据勾股定理易得：切线长=
其中PO=
R=；
代入上式化简为
即为所求．
（2）已知圆x²+y²-4x=0．易得圆心为（2，0），半径为2．
要在直线2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆x²+y²-4x=0引得的切线长度为最小．
半径已定，只需要满足直线上一点到圆心的距离最小即可．
显然直线上一点P即为，过圆心与直线2x+y+3=0垂直的交点．
该直线为：x-2y-2=0
联立   2x+y+3=0
求得
则该点P为（，）即为所求．
答：（1）圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一点P（x，y），点P向圆引切线的长度为
（2）直线2x+y+3=0上一点P为（，）P向圆x²+y²-4x=0引得的切线长度为最小．
点评：（1）圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一点P（x，y），点P向圆引切线的长度为，可以把此当结论记住． （2）解决直线与圆的相关问题，尽量充分利用直线与圆的相关几何性质加以解决．