Question

已知直线l：y=kx+1与圆C：x²+y²-4x-6y+12=0相交于M，N两点，
（1）求k的取值范围；
（2）若O为坐标原点，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，由相切得到d等于圆的半径r，根据圆的半径等于1列出关于k的方程，求出k的值，然后根据直线与圆的位置关系即可写出直线与圆有两个交点时k的取值范围；
②把直线l的方程与圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式，分别用坐标表示出

OM

和

ON

，然后利用

OM

•

ON

=12列出关于k的方程，求出k的值即可．

解答：解：（1）当直线l与圆相切时，圆心（2，3）到直线l的距离d=

|2k-2|

1+k2

=r=1，
化简得3k²-8k+3=0，解得：k=

4± 7

3

，
因为直线l与圆相交于M，N两点，所以实数k的取值范围为：

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

；
（2）把直线方程与圆方程联立得

y=kx+1 (x-2)2+(y-3)2=1

，消去y得到（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁和x₂为（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0的两个根，
则MN中点横坐标x₁+x₂=

4(1+k)

1+k2

，x₁x₂=

7

1+k2

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=

7

1+k2

+

12k2+4k+1

1+k2

=12，
即12k²+4k+8=12（1+k²），解得k=1．

点评：本题主要考查了学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式及韦达定理化简求值，同时考查了计算能力，属于中档题．