Question

若函数f（x）在给定区间M上存在正数t，使得对于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t级类增函数．给出4个命题
①函数f（x）=

4

x

+x是（1，+∞）上的3级类增函数；
②函数f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1级类增函数；
③若函数f（x）=sinx+ax是[

π

2

，+∞）上的

π

3

级类增函数，则实数a的最小值为2；
④设f（x）是定义R在上的函数，且满足：1．对任意x∈R，恒有f（x）＞0；2．对任意x₁，x₂∈[0，1]，恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2；3．对任意x∈R，f（x）=

1

f(x+ 1 2 )

，若函数f（x）是[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值范围为（0，+∞）．
以上命题中为真命题的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,抽象函数及其应用,函数的值

专题：新定义,函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对于所给的四个命题，按t级类增函数定义对它们逐一验证，即可找出正确命题

解答： 解：若函数f(x)=

4

x

+x是(1，+∞)上的3级类增函数，则f（x+3）≥f（x），即

4

x+3

+x+3≥

4

x

+x，∴x≥1或x≤-4，满足题意，故①对；
若函数f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1级类增函数，则|log₂x|≥|log₂（x-1）|在（1，+∞）上恒成立，当x=

5

4

，|log2

5

4

|≥|log2(

5

4

-1)|不成立，故②不对；
对于③，当a=1，f(x+

π

3

)≥f(x)，即sin(x+

π

3

)+x+

π

3

≥sinx+x，整理得

π

3

≥sin(x-

π

3

)，显然成立．故③不对．④正确．
故答案为：①④

点评：本题考查命题真假判断及新定义的理解，属于难度较大的综合题，解答时认真理解好所给的定义是解答的关键．