Question

已知函数f（x）=|x²-5x+4|，且方程f（x）=mx有三个不相等的实数根，则m=

 

  且三个实根的和是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：方程f（x）=mx有三个不相等的实数根即函数f（x）=|x²-5x+4|与函数y=mx有三个不同的交点，从而作图确定根的位置，从而可得x²-5x+4=-mx仅有一个解；从而求出m，再代回求三根之和．

解答： 解：方程f（x）=mx有三个不相等的实数根即函数f（x）=|x²-5x+4|与函数y=mx有三个不同的交点，
作函数f（x）=|x²-5x+4|与函数y=mx的图象如下，

结合图象可知方程x²-5x+4=-mx仅有一个解；
故△=（m-5）²-16=0；
故m=1或m=9（舍去）；
故m=1；
由x²-5x+4=x可化为x²-6x+4=0，
故x₁+x₂=6；
由由x²-5x+4=-x可化为x²-4x+4=0；
故x=2；
故三个实根的和是6+2=8；
故答案为：1，8．

点评：本题考查了零点的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想的应用，属于中档题．