题目内容
（2008•南汇区二模）数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和．对于n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设数列{
}的前n项和为Tn，数列{Tn}的前n项和为Rn，求证：当n≥2，n∈N时，Rn-1=n（Tn-1）；
（3）若函数f(x)=
的定义域为Rn，并且
f(an)=0(n∈N*)，求证p+q＞1．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设数列{
| 1 |
| an |
（3）若函数f(x)=
| 1 |
| (p-1)•3qx+1 |
| lim |
| n→∞ |
分析：（1）主要利用等差中项得出Sn与an的关系式，在利用 an =
可求出an．
（2）就是要用数学归纳法证明，先验证：n=2时等式成立，再假设 n=k时等式成立，推n=k+1时成立，其中有要利用好假设条件和Rk=Rk-1+Tk就可证出．
（3）先说明：q≠0．如果q=0，则f(x)=
，
f(an)不是0，∴q≠0；再根据(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(
)x恒成立．由于q≠0时，-(
)x的值域为（-∞，0），结合条件得出3q＞1从而得出p+q＞1．
|
（2）就是要用数学归纳法证明，先验证：n=2时等式成立，再假设 n=k时等式成立，推n=k+1时成立，其中有要利用好假设条件和Rk=Rk-1+Tk就可证出．
（3）先说明：q≠0．如果q=0，则f(x)=
| 1 |
| p |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| 3q |
| 1 |
| 3q |
解答：解：（1）由已知n∈N*时，2Sn=an+an2总成立．∴2Sn-1=an-1+an-12（n≥2），
两式作差，得2an=an+an2-an-1-an-12，∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1），∵an、an-1均为正数．∴an-an-1=1（n≥2）．∴{an}是公差为1的等差数列．
又n=1时，2S1=2a1=a1+a12，得a1=1，故an=n．…（4分）
（2）下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，R1=T1=
=1，2(T2-1)=2(
+
-1)=1．∴n=2时，等式成立
②假设当n=k（k≥2）时，
综合①和②，可知所要证明的等式成立．…（10分）
（3）如果q=0，则f(x)=
，
f(an)不是0，∴q≠0，∵f（x）定义域为R，
∴(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(
)x恒成立．由于q≠0时，-(
)x的值域为（-∞，0），
∴p-1≥0，又当p=1时，f（x）=1.
f(an)≠0，
∴p＞1．
∵
f(an)=
=
∴3q＞1，∴q＞0，故p+q＞1…16分
两式作差，得2an=an+an2-an-1-an-12，∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1），∵an、an-1均为正数．∴an-an-1=1（n≥2）．∴{an}是公差为1的等差数列．
又n=1时，2S1=2a1=a1+a12，得a1=1，故an=n．…（4分）
（2）下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，R1=T1=
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
②假设当n=k（k≥2）时，
|
综合①和②，可知所要证明的等式成立．…（10分）
（3）如果q=0，则f(x)=
| 1 |
| p |
| lim |
| n→∞ |
∴(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(
| 1 |
| 3q |
| 1 |
| 3q |
∴p-1≥0，又当p=1时，f（x）=1.
| lim |
| n→∞ |
∴p＞1．
∵
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| (p-1)•3qn+1 |
|
∴3q＞1，∴q＞0，故p+q＞1…16分
点评：本题的第1问比较简单，主要考查了 an =
这个知识点．第2问主要考查了数学归纳法证明，关键在于 n=k+1时的推导过程要利用好假设条件和题的条件，运算的技巧性较强．
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