Question

9．已知函数f（x）=ax²+2ax+1．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在区间[-3，2]上的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间[-3，2]上的最大值为4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）a=-1时，得到f（x）=-x²-2x+1，f（x）的对称轴为x=-1，从而可以写出f（x）在[-3，2]上的单调递减区间；
（2）可看出需讨论a：a＞0时，f（x）为二次函数，并且对称轴为x=-1，从而可得出f（x）在[-3，2]上的最大值f（2）=4，这便可求出a；a=0时显然不满足条件；a＜0时，可以得到f（-1）=4，这又可求出一个a的值，最后便可得出a的值．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=-x²-2x+1的图象是开口向下的抛物线，对称轴x=-1∈[-3，2]；
∴f（x）在区间[-3，2]上的单调递减区间是[-1，2]；
（2）①当a＞0时，f（x）的图象的开口向上，对称轴x=-1∈[-3，2]；
∴f（x）在x=2处取得最大值；
∴f（2）=4a+4a+1=4，解得a=$\frac{3}{8}$；
②当a=0时，f（x）=1没有最值；
③当a＜0时，f（x）的图象的开口向下，对称轴x=-1∈[-3，2]；
∴f（x）在x=-1处取得最大值；
∴f（-1）=a-2a+1=4，解得a=-3；
综上所述，a的值为-3或$\frac{3}{8}$．

点评 考查二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性，函数最大值的概念，根据对称轴求二次函数在闭区间上最大值的方法．