Question

6．已知函数g（x）=f（x）+3x（x∈R）为奇函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x＞0时，f（x）=log₃x，求函数g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数g（x）=f（x）+3x（x∈R）为奇函数，g（-x）=f（-x）-3x=-g（x）=-f（x）-3x，可得f（-x）=-f（x），即可判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x＞0时，f（x）=log₃x，求出x＜0，x=0时的解析式，即可求函数g（x）的解析式．

解答 解：（Ⅰ）∵函数g（x）=f（x）+3x（x∈R）为奇函数，
∴g（-x）=f（-x）-3x=-g（x）=-f（x）-3x，
∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数；
（Ⅱ）设x＜0，则-x＞0，
∵x＞0时，f（x）=log₃x，
∴f（-x）=log₃（-x），
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-log₃（-x），
∵g（0）=0，
∴函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x+3x，x＞0}\\{0，x=0}\\{-lo{g}_{3}（-x）+3x，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的奇偶性，函数解析式的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．