Question

已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）.

（1）利用双曲线的基本量的运算和向量的数量积可得，。（2）设出直线l的方程，要注意斜率存在且不为0，直线方程与双曲线方程联立利用判别式和韦达定理，点在以线段AB为直径的圆的外部，就是，得；可得，再转化为横坐标运算，整理得，由求出。
解：（Ⅰ）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．·································· 4分
（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由得，则
解得．    ①································································· 6分
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，

，解得． ②
由①、②得实数k的范围是，······················································· 8分
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴
则，··················································· 10分
∵，∴，解得，又，∴．
故λ的取值范围是．···································································· 13分