Question

8．四边形ABCD为正方形，BA⊥面ADPQ，AD⊥AQ，PD∥AQ，
（1）若QA=AB=$\frac{1}{2}$PD，证明：PQ⊥平面DCQ；
（2）若QA=AB=$\frac{1}{3}$PD，求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-QDC的体积的比值．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，可得DA，DP，DC两两垂直．以D为原点，DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
（2）利用棱锥的体积计算公式即可得出．

解答 （1）证明：∵AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，∴DA，DP，DC两两垂直．以D为原点，
DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
不妨设AB=1，则D（0，0，0），B（1，0，1），
C（0，0，1），Q（1，1，0），P（0，2，0）．
$\overrightarrow{PQ}$=（1，-1，0），
$\overrightarrow{PQ}$$•\overrightarrow{DQ}$=1-1+0=0，∵BA⊥面ADPQ，BA∥DC，
∴DC⊥面ADPQ，∴DC⊥PQ．
∴DC⊥PQ，DQ⊥PQ，又DC∩DQ=D，
∴PQ⊥平面DCQ．
（2）解：设AB=a，由题设，QA⊥AD，QA⊥CD，知AQ为棱锥Q-ABCD的高，
∴棱锥Q一ABCD的体积V₁=$\frac{1}{3}{a}^{3}$，
棱锥P-DCQ的体积V₂=V_C-DPQ=$\frac{1}{3}$a•$\frac{1}{2}$•3a•a=$\frac{1}{2}{a}^{3}$，
故棱锥Q-ABCD的体积：棱锥P-DCQ的体积=2：3．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．