题目内容
11．集合A中的元素个数用符号card（A）表示，设A={x|（lnx）2+mx2lnx＞0}，N为自然数集，若card（A∩N）=3，则实数m的取值范围是（ ）| A． | （-$\frac{ln2}{4}$，-$\frac{ln2}{8}$] | B． | （-$\frac{ln2}{8}$，-$\frac{ln5}{30}$] | C． | （-$\frac{ln2}{8}$，-$\frac{ln5}{25}$] | D． | （-$\frac{ln3}{9}$，-$\frac{ln2}{8}$] |
分析 首先将问题转化为方程lnx2+mx2lnx＞0 存在三个大于1的正整数根，然后构造函数，结合函数的单调性得到关于实数m的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．
解答 解：当 x=1时，不等式lnx2+mx2lnx＞0 不成立，
即方程lnx2+mx2lnx＞0 存在三个大于1的正整数根，
此时lnx＞0，则有lnx+mx2＞0 成立，
当 m＞0时，恒有lnx+mx2＞0，不合题意，即 m＜0，
令g（x）=lnx+mx2，则$g'（x）=\frac{1}{x}+2mx=\frac{2m{x}^{2}+1}{x}$，
则函数在区间$（0，\sqrt{-\frac{1}{2m}}）$上单调递增，在区间$（\sqrt{-\frac{1}{2m}}，+∞）$ 上单调递减，
据此可知，满足题意时应有：$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=ln2+4m＞0}\\{g（3）=ln3+9m＞0}\\{g（4）=ln4+16m＞0}\\{g（5）=ln5+25m≤0}\end{array}\right.$，
求解不等式组可得实数 m取值范围是$（-\frac{ln2}{8}，-\frac{ln5}{25}]$．
故选：C．
点评 本题考查了集合与函数相结合的问题，考查了导函数研究函数的单调性，考查了转化的能力．
练习册系列答案
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| A． | （0，$\frac{1}{2}$） | B． | （0，$\frac{\sqrt{e}}{2e}$） | C． | （$\frac{\sqrt{e}}{2e}$，$\frac{1}{e}$） | D． | （$\frac{1}{e}$，$\frac{\sqrt{e}}{e}$） |
6．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，若数列{an+an+1+an+2}是以2为公比的等比数列，则S26的值为（ ）
| A． | $\frac{3（{2}^{27}-1）}{7}$ | B． | $\frac{3（{2}^{27}-2）}{7}$ | C． | $\frac{3（{2}^{26}-1）}{7}$ | D． | $\frac{3（{2}^{26}-2）}{7}$ |