Question

3．已知函数f（x）=xlnx，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}{x}^{2}$+ax在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数f′（x）=lnx+1，可得f′（e）=2，又f（e）=e，利用直线方程的点斜式可得曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）把f（x）-$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}{x}^{2}$+ax在（0，+∞）上恒成立转化为2a≥$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$，利用导数求其最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）依题意，f′（x）=lnx+1，故f′（e）=2，而f（e）=e，
∴曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y-e=2（x-e），
即y=2x-e；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）-$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}{x}^{2}$+ax在（0，+∞）上恒成立，
即$xlnx-\frac{1}{2}≤\frac{3}{2}{x}^{2}+ax$在（0，+∞）上恒成立，
也就是2a≥$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$，则g′（x）=$\frac{-（3x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴g（x）_max=g（1）=-4，
故2a≥-4，可得a≥-2．
故实数a的取值范围为[-2，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用分离参数法求解恒成立问题，属于中档题．