题目内容
1．已知抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点，抛物线与椭圆的一个交点P到椭圆两焦点的距离之和为4，直线l1：y=x+$\frac{{b}^{2}}{3}$与抛物线仅有一个交点．（1）求抛物线Γ的方程以及椭圆E的方程；
（2）已知过原点O且斜率为k（k＞0）的直线l2与抛物线Γ交于O、A两不同点，与椭圆交于B、C两不同点，其中B、C两点的纵坐标分别满足yB＜0，yC＞0，若$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{CA}$，求直线l2的方程．
分析 （1）求得抛物线的准线方程，由题意可得p=2c，再由椭圆的定义可得a=2，联立直线和抛物线方程，运用判别式为0，可得p，b的方程，解方程组，可得a=2，p=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，进而得到抛物线和椭圆方程；
（2）设出直线方程，联立抛物线和椭圆方程，求得交点的坐标，再由向量共线的坐标表示，解方程可得k，进而得到所求直线方程．
解答 解：（1）y2=2px（p＞0）的准线为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意可得-$\frac{p}{2}$=-c，①
交点P到椭圆两焦点的距离之和为4，即为2a=4，
b2+c2=4，②
y=x+$\frac{{b}^{2}}{3}$与抛物线y2=2px联立，可得$\frac{1}{2p}$y2-y+$\frac{{b}^{2}}{3}$=0，
即有判别式1-$\frac{2{b}^{2}}{3p}$=0，③
由①②③解得p=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，a=2．
则抛物线Γ的方程为y2=4x，椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）联立直线l2：y=kx和抛物线方程y2=4x，可得A（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
联立直线l2：y=kx和椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
可得B（-$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，-k•$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$），C（$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，k•$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$），
由$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{CA}$，可得$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，
解得k=$\frac{\sqrt{6+3\sqrt{13}}}{3}$，
即有直线l2的方程为y=$\frac{\sqrt{6+3\sqrt{13}}}{3}$x．
点评 本题考查椭圆和抛物线的定义、方程和性质，考查直线和椭圆、抛物线的位置关系，考查向量共线的坐标表示，属于中档题．
| A． | 45° | B． | 30° | C． | 90° | D． | 60° |
单位正方体ABCD-A1B1C1O在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点M（a，a，0），N（0，b，1），其中0≤a≤1，0≤b≤1．设由M，N，O三点确定的平面截该正方体的截面为E，那么（ ）| A． | 对任意点M，存在点N使截面E为三角形 | |
| B． | 对任意点M，存在点N使截面E为正方形 | |
| C． | 对任意点M和N，截面E都是梯形 | |
| D． | 对任意点N，存在点M使得截面E为矩形 |
如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC=AC=2，把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示．点E，F分别为棱PC，CD的中点．