Question

13．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）•sin（x+$\frac{7π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sin（π+x）cos（x+3π）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；
（2）若B为△ABC的内角，且满足f（$\frac{B}{2}$）=$\sqrt{3}$，求∠B．

Answer 1

分析 化简得出函数关系式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）根据正弦函数的单调性得出$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$+\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，求解即可得出单调区间．
利用2x$+\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，k∈z，可求对称轴
（2）代入函数关系式得出2sin（B+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，0＜B＜π，求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）•sin（x+$\frac{7π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sin（π+x）cos（x+3π）．
∴f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
（1）∵$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$+\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
即$-\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤kπ$+\frac{π}{12}$，k∈z，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[$-\frac{5π}{12}$+kπ，kπ$+\frac{π}{12}$]，k∈z，
∵2x$+\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，k∈z，
∴x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈z．
∴对称轴方程为：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈z．
（2）∵B为△ABC的内角，且满足f（$\frac{B}{2}$）=$\sqrt{3}$，
∴2sin（B+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，0＜B＜π
即∠B=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考察了三角函数的图象性质，化简运算，解三角形，属于三角部分的综合题目，属于中档题．