Question

8．设F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2ac，则此双曲线的离心率为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 不妨设P在双曲线的右支上，设|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=t，则由双曲线的定义可得|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=t-2a，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求．

解答 解：不妨设P在双曲线的右支上，
设|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=t，则由双曲线的定义可得|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=t-2a，
由题意可得t（t-2a）=2ac，
又$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
由勾股定理可得，
t²+（t-2a）²=4c²，
则[t-（t-2a）]²=4c²-4ac，
即为c²-ac-a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得
e²-e-1=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$舍去），
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，注意运用定义和化简整理，属于中档题．