Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：x＞1时，$\frac{1}{2}$x²+lnx＜$\frac{2}{3}$x³．

Answer 1

分析 （1）先求函数的导数，利用导数确定函数的单调区间．
（2）构造函数$g（x）=\frac{2}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-lnx$，利用导数求函数g（x）的最值，然后去证明不等式．

解答 解：（1）依题意知函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=x-$\frac{1}{x}=\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）＞0，有x＞1；
∴函数f （x）的单调递增区间为（1，+∞）；
令f′（x）＜0，有0＜x＜1．
∴函数f （x）的单调递减区间为（0，1）．
证明：（2）设$g（x）=\frac{2}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-lnx$，则$g'（x）=2{x}^{2}-x-\frac{1}{x}$，
当x＞1时，$g'（x）=\frac{{（x-1）（2{x^2}+x+1）}}{x}＞0$，
∴g （x）在（1，+∞）上是增函数，
故$g（x）＞g（1）=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}＞0$
∴当x＞1时，$\frac{1}{2}{x^2}+lnx＜\frac{2}{3}{x^3}$成立．

点评 本题的考点是利用导数研究函数的单调性和最值，要求熟练掌握函数的性质和导数之间的关系．