Question

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M是棱A₁A的中点，N在AB上，且AN∶NB＝1∶3，求证：C₁M⊥MN．

Answer 1

答案：
解析：

证明1：设正方体的棱长为ａ，则MN＝， 　　C1M＝，C1N＝， 　　∵MN２＋MC1２＝NC1２，∴C1M⊥MN． 　　证明2：连结B1M，∵C1B1⊥平面A1ABB1， 　　∴B1M为C1M在平面A1ABB1上的射影． 　　设棱长为a，∵AN＝，AM＝，∴tan∠AMN＝， 　　又tan∠A1B1M＝，则∠AMN＝∠A1B1M，∴B1M⊥MN， 　　由三垂线定理知，C1M⊥MN．

提示：

在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难．此题C1M与MN是相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法为：因MN是平面A1ABB1内的一条直线，可考虑MC1在平面A1ABB1内的射影．