Question

2．过椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F₁（-$\sqrt{3}$，0），而且过点C（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）
（1）求椭圆E的方程：
（2）过点C的直线l与椭圆E的另一交点为D，与y轴的交点为B．过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为H．若CD•CB=2OH²，求直线l的方程．
（3）设椭圆E的上下顶点分别为A₁，A₂，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线0T与过点M，N的圆G相切，切点为T．线段0T的长是否为定值，若是并求出该定值，不是说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆的两个焦点分别为（-$\sqrt{3}$，0），F₂（-$\sqrt{3}$，0），利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；
（2）设直线l的方程代入椭圆方程，求出D的横坐标；直线OH的方程代入椭圆方程，求出H的横坐标，利用CD•CB=2OH²，建立方程，即可求得直线l的方程．
（3）由（1）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），求出x_N=$\frac{-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，x_M=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，可得|OM||ON|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$|=4由切割线定理可得线段OT的长度．

解答 解：（1）椭圆的两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（-$\sqrt{3}$，0），
由椭圆的定义可得2a=|PF₁|+|PF₂|=$\frac{7}{2}+\frac{1}{2}$=4，所以a=2，b²=1，
所以椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）由题意，设直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=k（x-$\sqrt{3}$），
代入椭圆方程可得（x-$\sqrt{3}$）[（4k²+1）（x-$\sqrt{3}$）-（-8$\sqrt{3}$k+4）]=0
∵x-$\sqrt{3}$≠0，x_D-$\sqrt{3}$=$\frac{-8\sqrt{3}k+4}{4{k}^{2}+1}$
由题意，直线OH的方程为y=kx，代入椭圆方程可得（4k²+1）x²=4
∴${{x}_{H}}^{2}$=$\frac{4}{4{k}^{2}+1}$
∵CD•CB=2OH²，
∴|x_D-$\sqrt{3}$|×|x₀-$\sqrt{3}$|=2${{x}_{H}}^{2}$，
∴|$\frac{-8\sqrt{3}k+4}{4{k}^{2}+1}$|×$\sqrt{3}$=2×$\frac{4}{4{k}^{2}+1}$
∴k=$\frac{\sqrt{3}±2}{6}$
∴直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}±2}{6}$（x-$\sqrt{3}$），
（3）由（1）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），
直线PA₁：y-1=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x，令y=0，得x_N=$\frac{-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$；
直线PA₂：y+1=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$x，令y=0，得x_M=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$；
则|OM||ON|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$|=4，由切割线定理得OT²=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆与椭圆为综合，考查线段长的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．