Question

直线y=-

3

3

x+1和x轴，y轴分别交于点A，B，在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点P(m，

1

2

)使得△ABP和△ABC的面积相等．
（1）求m的值．   
（2）求点C坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知可得直线CP∥AB，设CP的方程为y=-

3

3

x+c，(c＞1)．利用点到直线的距离公式和等边三角形的高与边的关系可得

c-1

1+ 1 3

=AB×

3

2

=

3

，c=3，即可得到直线CP的方程为y=-

3

3

x+3，由于此直线经过过P(m，

1

2

)，代入方程即可得到m．
（2）由直线y=-

3

3

x+1，f分别令y=0，x=0，即可得到点A，B的坐标，利用中垂线的性质可得线段AB的中垂线方程，与PC的直线方程联立，即可解得点C的坐标．

解答：解：（1）由已知可得直线CP∥AB，设CP的方程为y=-

3

3

x+c，(c＞1)
则

c-1

1+ 1 3

=AB×

3

2

=

3

，c=3，
∴直线CP的方程为：y=-

3

3

x+3，
∵此直线经过过P(m，

1

2

)，
得

1

2

=-

3

3

m+3，m=

5 3

2

（2）由直线y=-

3

3

x+1，令y=0，解得x=

3

；令x=0，解得y=1．
∴A(

3

，0)，B(0，1)，
∴线段AB的中点为(

3

2

，

1

2

)，kAB=

0-1

3

=-

3

3

．线段AB的中垂线的斜率为k=

3

．
线段AB的中垂线为y=

3

x-1，与PC的直线方程联立

y=- 3 3 x+3 y= 3 x-1

，解得

y=2 x= 3

．
∴C(

3

，2)．

点评：本题综合考查了平行线间的距离、等边三角形的性质、平行线的方程、中垂线的性质等基础知识与基本方法，属于中中档题．