Question

1．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．（1）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知K（m，0）（m∈R，m≠0）是x轴上一动点，O为坐标原点，过点K且倾斜角为$\frac{π}{4}$的一条直线l与抛物线相交于不同的P，Q两点，求$\frac{\overline{OP}•\overline{OQ}+4}{m}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的准线方程，由题意可得4+$\frac{p}{2}$=5，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=m+y，代入抛物线的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，再由基本不等式和函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）抛物钱y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意可得4+$\frac{p}{2}$=5，
解得p=2，
则抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=m+y，
代入抛物线的方程，可得y²-4y-4m=0，
由△=16+16m＞0，可得m＞-1，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
即有y₁y₂=-4m，x₁x₂=$\frac{1}{16}$（y₁y₂）²=m²，
则$\frac{\overline{OP}•\overline{OQ}+4}{m}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}+4}{m}$
=$\frac{{m}^{2}-4m+4}{m}$=m+$\frac{4}{m}$-4，
若m＞0时，m+$\frac{4}{m}$-4≥2$\sqrt{m•\frac{4}{m}}$-4=0，
若-1＜m＜0，m+$\frac{4}{m}$-4递减，即有m+$\frac{4}{m}$-4＜-9．
综上可得，$\frac{\overline{OP}•\overline{OQ}+4}{m}$的取值范围为（-∞，-9）∪[0，+∞）．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用抛物线的定义，考查直线方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和基本不等式及函数的单调性的运用，属于中档题．