Question

16．设x，y∈R，若4x²+y²+xy=1，则2x+y的最大值是$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 变形已知式子结合基本不等式可得关于2x+y的一元二次不等式，解不等式可得．

解答 解：∵4x²+y²+xy=1，∴4x²+y²+4xy=1+3xy，
∴（2x+y）²=1+3xy=1+$\frac{3}{2}$•2x•y≤1+$\frac{3}{2}$•$（\frac{2x+y}{2}）^{2}$，
整理可得$\frac{5}{8}$（2x+y）²≤1，
解关于2x+y的一元二次不等式可得-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$≤2x+y≤$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
∴2x+y的最大值为：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$

点评 本题考查基本不等式以及一元二次不等式的解法，属中档题．